что такое мода колебаний

МОДА (тип колебаний)

Смотреть что такое «МОДА (тип колебаний)» в других словарях:

тип колебаний — virpesių moda statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. oscillation mode vok. Schwingungsart, f; Schwingungsmode, f rus. вид колебаний, m; мода колебаний, f; тип колебаний, m pranc. mode d oscillations, m … Radioelektronikos terminų žodynas

тип колебаний — svyravimų tipas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. mode of oscillation; mode of vibration vok. Schwingungsart, f; Schwingungstyp, m rus. мода колебаний, f; тип колебаний, m pranc. mode d’oscillations, m; type d’oscillations, m … Fizikos terminų žodynas

независимый тип колебаний — nesusietoji moda statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. uncoupled mode vok. ungekoppelte Schwingungsart, f rus. независимый тип колебаний, m; несвязанная мода, f pranc. mode pur, m … Radioelektronikos terminų žodynas

вырожденный тип колебаний — išsigimusioji moda statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. degenerate mode vok. Ausartungsmodus, m; entarteter Wellentyp, m rus. вырожденная мода, f; вырожденный тип колебаний, m pranc. mode dégénéré, m … Fizikos terminų žodynas

МОДА — тип колебаний (нормальные колебания) в распределенных колебательных системах или тип волн (нормальные волны) в волноводных системах и волновых пучках (см. Волновод, Квазиоптика). Термин мода стал употребляться также для любого волнового поля (вне … Большой Энциклопедический словарь

МОДА — тип колебаний (нормальные колебания) в распределённых колебат. системах или тип волн (нормальные волны) в волноводных системах и волновых пучках. Термин М. стал употребляться также для любого волнового поля (вне его источников), обладающего оп… … Естествознание. Энциклопедический словарь

мода — ы; ж. [франц. mode мода; манера, образ действий] 1. Совокупность вкусов и взглядов, господствующих в обществе в определённое (обычно недолгое) время и проявляющихся в увлечениях чем л., формах быта, одежде и т.п. М. на высокие каблуки. Выйти из… … Энциклопедический словарь

мода колебаний — virpesių moda statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. oscillation mode vok. Schwingungsart, f; Schwingungsmode, f rus. вид колебаний, m; мода колебаний, f; тип колебаний, m pranc. mode d oscillations, m … Radioelektronikos terminų žodynas

мода колебаний — svyravimų tipas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. mode of oscillation; mode of vibration vok. Schwingungsart, f; Schwingungstyp, m rus. мода колебаний, f; тип колебаний, m pranc. mode d’oscillations, m; type d’oscillations, m … Fizikos terminų žodynas

МОДА — (фр.). Временный условный обычай в обществе, выражающийся в покрое одежды, в нарядах, в нравах. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. МОДА господство в данное время каких либо вкусов, направлений и т. п … Словарь иностранных слов русского языка

Источник

Нормальные моды колебаний

Системы с двумя степенями свободы

Особый интерес представляет случай, когда одна колеблющаяся система связана с другой системой, которая тоже может колебаться. В этом случае для каждого из осцилляторов можно записать свое уравнение динамики, эти уравнения в общем случае не являются независимыми. Каждый осциллятор имеет свою частоту, амплитуду и фазу, т.е. система обладает двумя степенями свободы.

Такие системы называются связанными. Простой пример связи – два маятника, соединённые нитью, к середине которой подвешен груз Р (рис.1.1.14). При помощи силы, действующей на нить, маятник А связан с маятником В. Если маятник В во время колебания удалится от А, то сила связи между этими маятниками становится больше, а при сближении – меньше. Маятник А получает в такт с колебаниями маятника В импульс периодически действующей силы, частота которой согласуется с частотой собственных колебаний А, но может отличаться от частоты колебаний В.

Под влиянием силы связи между маятниками разной длины маятник А приходит в колебательное движение. Когда маятник В колеблется, его амплитуда возрастает с каждым новым импульсом, в то время, как амплитуда В убывает. Спустя известное время, амплитуды маятника А убывают, а маятника В возрастают до тех пор, пока не наступит обратное явление. Таком образом, энергия колебаний передаётся через связь от одной колеблющейся системы другой и обратно.

Если периоды собственных колебаний обоих маятников равны, то обмен энергией осуществляется нацело.

Из эксперимента известно, что процесс передачи энергии между маятниками идёт тем быстрее, чем больше масса груза Р. Если два маятника колеблются с одинаковыми периодами, амплитудами и фазами колебаний, то никакого обмена энергией между ними не происходит. Должна быть разница в амплитудах или фазах колебаний, чтобы энергия была получена или отдана.

В общем случае движение системы с двумя степенями свободы может иметь очень сложный вид, не похожий на простое гармоническое движение.

Можно показать, что для двух степеней свободы и при линейных уравнениях движения наиболее общее движение является суперпозицией двух независимых простых гармонических движений, происходящих одновременно. Эти два простых гармонических движения называются нормальными или собственными колебаниями или гармониками, а так же нормальными модами колебаний или просто модами. Создавая определённые начальные условия (определённые начальные значения xa, xbи dxa/dt, dxb/dt) можно создать систему, колебания которой соответствуют только одной из мод.

Нормальные колебания (нормальные моды) – это собственные (свободные) гармонические колебания линейных динамических систем с постоянными параметрами, в которых отсутствуют как потери, так и приток извне колебательной энергии. Каждое нормальное колебание характеризуется определенным значением частоты, с которой осциллируют все элементы системы, и формой — распределением амплитуд и фаз по элементам системы. Линейно независимые нормальные колебания, отличающиеся формой, но имеющие одну и ту же частоту, называются вырожденными. Частоты нормальных колебаний называются собственными частотами системы.

В дискретных системах, состоящих из N связанных гармонических осцилляторов (например, механических маятников, колебательных контуров), число нормальных колебаний равно N. В распределённых системах (струна, мембрана, резонатор) существует бесконечное, но счётное множество нормальных колебаний. Произвольное свободное движение колебательной системы может быть представлено в виде суперпозиции нормальных колебаний. При этом полная энергия движения распадается на сумму парциальных энергий, отдельных нормальных колебаний. Таким образом, линейная система ведёт себя, как набор независимых гармонических осцилляторов, которые могут быть выбраны в качестве обобщённых нормальных координат, описывающих движение в целом. Однако в динамических системах могут существовать и собственные движения, не сводящиеся к нормальным колебаниям (равномерные вращения, постоянные токи и др.).

При внешнем возбуждении системы нормальные колебания в значительной мере определяют её резонансные свойства. Резонанс может возникнуть лишь в том случае, когда частота гармонического внешнего воздействия близка к одной из собственных частот системы либо к их линейной комбинации, если внешнее воздействие меняет параметры системы (параметрический резонанс). При этом важным оказывается также и пространственное распределение воздействия — максимальный эффект достигается при соблюдении не только временного, но и «пространственного синхронизма».

В линейных системах с переменными параметрами при выполнении определенных условий также возможно представление движений в виде суперпозиции нормальных колебаний, отличающихся, однако, от гармонических. Понятие нормальных колебаний может быть приближённо распространено на системы, содержащие неконсервативные и нелинейные элементы, если их воздействие приводит к медленным изменениям амплитуд и фаз квазигармонических нормальных колебаний (в масштабе периода самих нормальных колебаний или периода биений между ними).

Свойства мод. Если существует лишь одна мода колебаний, то в системе совершается простое гармоническое движение. Все части системы колеблются с одной частотой, одновременно проходя через положение равновесия (для которого х=0). Например, движения или не могут соответствовать одной моде, так как в первом случае различны фазовые постоянные, во втором – частоты.

Рассмотрим моду, движение которой описывается уравнением

. (1.6.1)

назовем ее мода 1. Из уравнения движения видно, что у обеих степеней свободы одна и та же частота и фаза. Для моды 2 получаем

. (1.6.2)

Каждая мода имеет свою собственную частоту: для моды 1 и для моды 2.

Для каждой моды система имеет характерную “конфигурацию” или “форму”, определяемую отношением амплитуд движений по двум направлениям: для моды 1 и для моды 2. Для данной моды отношение xa/xbпостоянно и не зависит от времени, оно определяется в нашем случае отношением или , которые могут быть либо положительными, либо отрицательными.

Наиболее общим движением является суперпозиция, при которой движение содержит обе моды колебаний одновременно:

. (1.6.3)

В качестве примера рассмотрим двумерный гармонический осциллятор (рис.1.6.5). Масса М, укреплённая на двух парах взаимно перпендикулярных пружин, может свободно двигаться в плоскости ХУ. В направлении оси Х она соединена со стенками двумя невесомыми пружинами с коэффициентами жёсткости , а в направлении У – двумя другими невесомыми пружинами с коэффициентом жёсткости . В случае малых колебаний x-компонента возвращающей силы полностью обусловлена пружинами , а у-составляющая возвращающей силы зависит только от пружин . В положении равновесия система имеет вид, представленный на рис.1.6.5. Сообщим массе М небольшое смещение х в направлении +х, тогда возвращающая сила станет равна

Теперь из этого положения дадим массе небольшое смещение у в направлении +у. Нужно выяснить, изменилось ли значение .

Тогда можно считать, что величина не изменилась, то же можно сказать и о . Мы получили два линейных уравнения: решения которых

(1.6.4)

Из этих уравнений следует, что движения в направлениях Х и У не связаны между собой, и каждое движение представляет собой гармоническое колебание с собственной частотой. Движение вдоль оси Х соответствует одной нормальной моде колебаний, а вдоль оси У – другой моде. Колебания вдоль оси Х (1 мода) имеют амплитуду и фазу , которая зависит только от начальных условий х(0) и х‘(0), то есть от смещения и скорости в момент времени t=0. Аналогично, для колебаний вдоль оси У (2 мода) амплитуда и фаза зависят только от начальных значений у(0) и у‘(0).

Нормальные координаты. Естественный выбор координат х и у вдоль осей пружин дал нам независимые уравнения (1.6.4), каждое из которых соответствует одной моде. С точки зрения общих решений (1.6.3) это эквивалентно тому, что в выражении для амплитуда , а для =0. Столь удачно выбранные нами координаты х и у называются нормальными координатами. Рассмотрим систему координат х‘у’, которая связана с ху поворотом на угол α.

В большинстве задач, содержащих системы с двумя степенями свободы, не так легко «на глаз» найти нормальные координаты. Как правило, уравнения движения для систем с двумя степенями свободы – это два связанных уравнения. Один из методов решения таких связанных дифференциальных уравнений – это поиск новых переменных, которые являлись бы линейной комбинацией первоначальных, неудачно выбранных координат и которые давали бы не связанные, а разделённые уравнения движения. Такие новые координаты называются нормальными.

В нашем примере для получения нормальных координат нам нужно повернуть оси х’ и у’ на угол α до совпадения их с осями х и у.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Нормальные колебания (моды). Связанные колебательные системы

Под нормальными колебаниями (нормальными модами) понимают собственные (свободные) незатухающие гармонические колебания в замкнутых линейных колебательных системах (в них отсутствуют как потери энергии, так и приток извне колебательной энергии).

Каждое нормальное колебание характеризуется определенным значением частоты. Эти частоты называются собственными частотами системы.

Вводится понятие степеней свободы системы. Под степенями свободы системы понимают число независимых параметров, описывающих возможные изменения состояния системы. Линейные колебательные системы (они представляют собой гармонические осцилляторы, такие как колебательный контур, пружинный маятник, математический маятник) являются системами с одной степенью свободы. Действительно, для описания их движения необходимо задать только один параметр. Например, для механической системы этим параметром является координата , описывающая движение материальной точки относительно положения равновесия (другие координатыу и z в этом случае не нужны). Для колебательного контура таким параметром будет заряд q на обкладках конденсатора (другие величины, такие как сила тока, напряжения на конденсаторе и на катушке, определяются из зависимости заряда q от времени t). Для линейных систем с одной степенью свободы существует только одно нормальное колебание, нормальная мода.

Связанные колебательные системы представляют собой системы с двумя и более степенями свободы, рассматриваемые как совокупность систем с одной степенью свободы, взаимодействующих между собой. Колебания, возникающие в связанных системах, называют связанными колебаниями.

В дискретных связанных системах, состоящих из связанных гармонических осцилляторов (например, механических маятников, колебательных контуров), число нормальных колебаний равно.

Примером связанных систем могут служить два колебательных контура, связанных между собой индуктивной связью (рис. 5.27,а). Колебания в одном контуре из-за наличия связи вызывают колебания в другом, т.е. происходит переход энергии из одного контура в другой. Число нормальных колебаний для таких контуров равно двум.

Рис. 5.27

В линейных распределенных системах (струна, мембрана, резонатор) существует бесконечное, но счетное множество нормальных колебаний.

Произвольное свободное колебание системы может быть представлено в виде суперпозиции нормальных колебаний. При этом полная энергия движения распадается на сумму энергий отдельных нормальных колебаний.

Примером такой системы являются колебания струны, закрепленной на концах. Возбуждение в ней поперечных колебаний приводит к образованию стоячей волны, узлы которой приходятся на закрепленные концы (рис. 5.27,в). На длине струны укладывается целое число полуволн

Все частоты представляют собой частоты нормальных колебаний струны, частота, соответствующаяn=1, называется основной частотой. Основную частоту можно изменить, уменьшая или увеличивая натяжение струны

, (5.93)

где F – сила натяжения струны; ρ, S – плотность материала струны и площадь ее поперечного сечения соответственно.

Любое колебание струны можно представить в виде суммы ее нормальных колебаний. Таким образом, линейная распределенная система ведет себя как набор независимых гармонических осцилляторов.

Полученная формула (5.92) используется, в частности, для определения спектра частот нормальных колебаний кристаллической решетки, связанных с тепловыми колебаниями атомов.

Резонанс в системах с несколькими степенями свободы. При внешнем возбуждении системы нормальные колебания в значительной мере определяют ее резонансные свойства. Резонанс может возникнуть лишь в том случае, когда частота гармонического внешнего воздействия близка к одной из собственных частот системы, либо к их линейной комбинации, если внешнее воздействие меняет параметры системы (параметрический резонанс).

В линейном приближении собственные колебания этих систем представляют собой набор нормальных колебаний (мод). Если отклик системы представляет собой суммарный отклик всех степеней свободы, то тогда резонансная кривая будет наложением резонансных кривых отдельных нормальных колебаний и может иметь сложный характер.

Так, в системе с двумя степенями свободы, ввиду того, что собственные колебания могут происходить с двумя различными частотами, резонанс наступает при совпадении частоты гармонического внешнего воздействия как с одной, так и с другой нормальной частотой системы. Подбором параметров нормальных колебаний можно создать резонансную кривую любой формы, что широко используется, например, в радиотехнике для создания фильтрации частот (рис. 5.27,б).

Наличие связи изменяет характер резонансных явлений в связанных системах по сравнению с одиночным контуром. В связанных системах резонанс наступает всякий раз, когда частота внешнего воздействия совпадает с одной из частот собственных колебаний всей системы, отличающихся от собственных частот отдельных контуров. Например, в связанных системах, состоящих из двух контуров, резонанс наступает на двух резонансных частотах. При этом для двух слабо взаимодействующих систем с близкими собственными частотами колебаний может происходить резонансная перекачка энергии из одной подсистемы в другую.

Источник

Собственная мода

Собственные частоты системы зависят от ее геометрии, структуры и свойств материала. Собственные частоты струны музыкального инструмента определяются, например, ее длиной, материалом и натяжением. То же касается всех вибрационных систем.

Оглавление

теория

Уравнения движения системы получаются из уравнений Лагранжа

Подход к решению уравнения:

(Положительные) корни корней многочлена

Таким образом, общее решение системы уравнений колебаний системы является суперпозицией ее собственных колебаний и, возможно, равномерного движения.

Нормальные координаты

а знак равно ( А. я ( k ) ) <\ displaystyle a = \ left (> ^ <(k)>\ right)>

так что для всех собственных значений, которые не являются вырожденными, все недиагональные элементы должны равняться нулю. Соответствующая нормировка собственных векторов приводит к соотношению ортонормированности а Т Т а <\ displaystyle a ^ <\ mathrm > Ta>

а Т Т а знак равно 1 <\ displaystyle a ^ <\ mathrm > Ta = 1>

написано так, что утверждение следует непосредственно умножением на слева. а Т <\ Displaystyle а ^ <\ mathrm >>

Примеры

Пружинный маятник

с полиномом первой степени от ω 2 <\ displaystyle \ omega ^ <2>>

и собственный вектор

Молекула CO ₂

для определителя системы

Включены три его нуля

а собственные векторы равны

Это тоже дает общее решение

Вибрирующая струна

Вибрирующая струна имеет бесконечное количество степеней свободы и, соответственно, бесконечное количество собственных частот. Однако они должны соответствовать граничным условиям задачи. Волновое уравнение является

должен быть. Это приводит к граничному условию

а общее решение волнового уравнения представляет собой суперпозицию по всем собственным колебаниям:

Нормальные колебания молекул

Квантовая механика

является. Если оператор Гамильтона не зависит от времени, то существует формальное решение уравнения Шредингера

Источник