Матрицы. Матрица размера m х n – это прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов
Линейная алгебра
Матрица размера m х n – это прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Матрицы принято обозначать заглавными латинскими буквами, а элементы – теми же, но строчными буквами с двойной индексацией.
Например, рассмотрим матрицу А размерности 2 х 3:
Матрицы А и В одного размера (m х n ) называют равными, если они поэлементно совпадают, т.е. aij = bij для 
, т.е. для любых i и j (можно записать «i, j).
Матрица-строка – это матрица, состоящая из одной строки, а матрица-столбец – это матрица, состоящая из одного столбца.
Например, 
— матрица-строка, а 
.
Квадратная матрица n-го порядка – это матрица, в число строк равно числу столбцов и равно n.
Например, 
— квадратная матрица второго порядка.
Диагональные элементы матрицы – это элементы, у которых номер строки равен номеру столбца (aij, i = j). Эти элементы образуют главную диагональ матрицы. В предыдущем примере главную диагональ образуют элементы a11= 3 и a22= 5.
Диагональная матрица – это квадратная матрица, в которой все недиагональные элементы равны нулю. Например, 
— диагональная матрица третьего порядка. Если при этом все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной (обычно обозначаются буквой Е). Например, 
— единичная матрица третьего порядка.
Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.
Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы ниже (или выше) главной диагонали равны нулю. Например, 
— треугольная матрица третьего порядка.
Дата добавления: 2015-10-06 ; просмотров: 2723 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Матрицы. Виды матриц
Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.
Матрица порядка m × n записывается в форме:
или 
(i=1,2. m; j=1,2. n).
Числа aij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j— номер столбца.
Матрица строка
Матрица размером 1×n, т.е. состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Например:
Матрица столбец
Матрица размером m×1, т.е. состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Например
Нулевая матрица
Квадратная матрица
Матрица A порядка m×n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов совпадают: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например:
Главная диагональ матрицы
Побочная диагональ матрицы
Диагональная матрица
Квадратная матрица называется диагональной, если элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю. Пример диагональной матрицы:
Единичная матрица
След матрицы
Сумма главных диагональных элементов матрицы A называется следом матрицы и обозначается Sp A или Tr A. Например:
Верхняя треугольная матрица
Нижняя треугольная матрица
Квадратная матрица порядка n×n называется нижней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные над главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i T ).
Cтолбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A).
Ядро или нуль пространство матрицы
Противоположная матрица
Для любой матрицы A сущеcтвует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0. Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком.
Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица
Кососимметричной называется квадратная матрица, которая отличается от своей транспонированной матрицы множителем −1:
В кососимметричной матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали отличаются друг от друга множителем −1, а диагональные элементы равны нулю.
Пример кососимметрической матрицы:
Разность матриц
Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством
Для обозначения разности двух матриц используется запись:
Степень матрицы
Пусть квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:
где E-единичная матрица.
Из сочетательного свойства умножения следует:
где p,q— произвольные целые неотрицательные числа.
Симметричная (Симметрическая) матрица
Матрица, удовлетворяющая условию A=A T называется симметричной матрицей.
Для симметричных матриц имеет место равенство:
Матрицы: определение и основные понятия.
Определение матрицы
Количество строк и столбцов задают размеры матрицы.
Обозначение
| A = |  | 4 | 1 | -7 |  |
| -1 | 0 | 2 |
Элементы матрицы
Элементы матрицы A4×4:
| A = | | 4 | 1 | -7 | 2 | |
| -1 | 0 | 2 | 44 | |||
| 4 | 6 | 7 | 9 | |||
| 11 | 3 | 1 | 5 |
Демонстрация нулевых и ненулевых строк матрицы:
| 4 | 1 | -7 | |
| 0 | 1 | -7 | |
| 0 | 0 | 2 | ||
называется матрица B=
называется матрица С=А+В, элементы которой cij=aij+bij для i=1,2,…m; j=1,2,…n (т.е. матрицы складываются поэлементно).
∙B k
Общая схема матрицы 
Пример квадратной матрицы с пятью строками и столбцами. Записывается как матрица размера 5×5. В числовой матрице мы не нумеруем элементы — они закрепляются за числами по умолчанию. Например, элементу А₂₃ соответствует число три
Выносим минус за пределы матрицы и получаем вместо двадцати одного отрицательного элемента — четыре 
Перед матрицей минус, и внутри у большинства элементов минус. Вносим минус в матрицу и делаем её удобной для дальнейших вычислений
Пример умножения матрицы на число
Схема транспонирования матриц: первая строка переходит в первый столбец, вторая строка — во второй столбец и так далее в зависимости от количества элементов матрицы 
Пример транспонирования. Транспонированная матрица обозначается буквой той же матрицы, из которой она получилась + надстрочечный индекс в виде печатной буквы «Т» 
Матрицу можно перетасовывать, но это нужно делать по правилам. Транспонирование — одно из таких правил
Пример сложения двух прямоугольных матриц с тремя строками и двумя столбцами 
Пример вычитания двух матриц
Формула умножения матриц 
Пример умножения квадратных матриц размерностью 2×2
