декодирование бчх кодов пример

Национальная библиотека им. Н. Э. Баумана
Bauman National Library

Персональные инструменты

Код Боуза — Чоудхури — Хоквингема

Содержание

БЧХ-код

Главной задачей является построение кода с заданным кодовым расстоянием (заданными корректирующими свойствами). Построим циклический линейный код над конечным полем F q <\displaystyle

\gamma _> существует минимальный многочлен g i ∈ F q [ x ] <\displaystyle

g_> определены над F q <\displaystyle

g> как порождающий многочлен для циклического кода.

f\in C\Leftrightarrow f(\gamma _)=0\ \forall i>

g=g_\cdot h_\Rightarrow g(\gamma _)=g_(\gamma _)\cdot h_(\gamma _),\ h_(\gamma _)=0>

Для нахождения порождающего многочлена необходимо выполнить несколько этапов:

\,\!> — примитивный элемент поля G F ( 16 ) <\displaystyle GF(16)

\,\!> — четыре подряд идущих степеней элемента α <\displaystyle \alpha

Каждому элементу поля G F ( 16 ) <\displaystyle GF(16)

\,\!> можно сопоставить 4 битам, поэтому одно кодовое слово эквивалентно 60 = 15 ∗ 4 <\displaystyle 60=15*4

\,\!> битам, таким образом набору из 44 бит ставится в соответствие набор из 60 бит. Можно сказать, что такой код работает с полубайтами информации.

Проверочная матрица БЧХ-кода

\beta ^=1>
Существует примитивный элемент α <\displaystyle

\mathbb _>> матрица имеет размер ( δ − 1 ) × n <\displaystyle

Частные случаи

n=q-1\Rightarrow m=1> и код называется кодом Рида-Соломона (РС-код)

Пример кода БЧХ

Проверочная матрица над полем–расширением:

Теорема о конструктивном расстоянии

n=1\quad (1)=det
n = 2 ( 1 1 x 1 x 2 ) = 1 x 2 − 1 ⋅ x 1 = x 2 − x 1 <\displaystyle

Рассмотрим проверочную матрицу кода C <\displaystyle C

Достаточно доказать, что любые d − 1 <\displaystyle d-1

\,\!> линейно независимы (над F q

По лемме Вандермонда:

Кодирование и декодирование БЧХ кодов

Кодирование

Для кодирования кодов БЧХ применяются те же методы, что и для кодирования и декодирования циклических кодов

Декодирование. Алгоритм Питерсона-Горештейна-Цирлера

r> ненулевых символов, данное выражение можно представить в виде:

\beta ^>=\eta _> однозначно определяет позицию ошибки. Множество локаторов ошибок однозначно определяет все позиции ошибок.

\Lambda (x)=(x-\eta _<1>). (x-\eta _)> называется многочленом локаторов ошибок.
d e g Λ ( x ) = r <\displaystyle

Основные шаги алгоритма Питерсона-Горештейна-Цирлера:

Рассмотрим подробнее некоторые из пунктов алгоритма.

Вычисление значений ошибок e i <\displaystyle

Допустим известно η i = β a i <\displaystyle

\eta _=\beta ^>> и значение синдрома. Построим проверочную матрицу.

Представим вектор y <\displaystyle

e ( x ) = ∑ i = 1 r e i x a i <\displaystyle

\ e_> соответствует y a i <\displaystyle

Получаем СЛУ относительно e i <\displaystyle

(\eta _<1>,\,\eta _<2>. \eta _)^\neq 0\quad > так как η i ≠ 0 <\displaystyle

W(\eta _<1>,\,\eta _<2>. \eta _)=\prod _j>(\eta _-\eta _)=0\quad > только если η i = η j <\displaystyle

Значит система разрешима и имеет одно решение.

Вычисление многочлена локаторов ошибок Λ ( x ) <\displaystyle

Необходимо найти все коэффициенты λ i <\displaystyle

Λ ( η i ) e i η i b + j = 0 <\displaystyle

Просуммируем при фиксированном j <\displaystyle

j> уравнения по всем i <\displaystyle

Получаем линейную систему относительно λ <\displaystyle

\lambda > с известными коэффициентами.

b + 2 r − 1 ≤ b + δ − 2 <\displaystyle

Для этого требуется показать, что матрица не вырождена:

Рассмотрим матрицы A <\displaystyle

Сложность алгоритма Питерсона-Горештейна-Цирлера

\,\!> через вычисление определителя матрицы синдромов размера t × t <\displaystyle t\times t

Итоговая сложность L = O ( n t + t 3 ) <\displaystyle L=O(nt+t^<3>)

Литература

Мак-Вильямс Ф. Дж, Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки: Пер. с англ. — М. : Связь, 1979. — С. 744, ил.

Источник

Помехоустойчивое кодирование. Коды Хэмминга

Назначение помехоустойчивого кодирования – защита информации от помех и ошибок при передаче и хранении информации. Помехоустойчивое кодирование необходимо для устранения ошибок, которые возникают в процессе передачи, хранения информации. При передачи информации по каналу связи возникают помехи, ошибки и небольшая часть информации теряется.

Без использования помехоустойчивого кодирования было бы невозможно передавать большие объемы информации (файлы), т.к. в любой системе передачи и хранении информации неизбежно возникают ошибки.

Рассмотрим пример CD диска. Там информация хранится прямо на поверхности диска, в углублениях, из-за того, что все дорожки на поверхности, часто диск хватаем пальцами, елозим по столу и из-за этого без помехоустойчивого кодирования, информацию извлечь не получится.

Использование кодирования позволяет извлекать информацию без потерь даже с поврежденного CD/DVD диска, когда какая либо область становится недоступной для считывания.

В зависимости от того, используется в системе обнаружение или исправление ошибок с помощью помехоустойчивого кода, различают следующие варианты:

Возможен также гибридный вариант, чтобы лишний раз не гонять информацию по каналу связи, например получили пакет информации, попробовали его исправить, и если не смогли исправить, тогда отправляется запрос на повторную передачу.

Читайте также: тойота код ошибки c0200
Исправление ошибок в помехоустойчивом кодировании

Любое помехоустойчивое кодирование добавляет избыточность, за счет чего и появляется возможность восстановить информацию при частичной потере данных в канале связи (носителе информации при хранении). В случае эффективного кодирования убирали избыточность, а в помехоустойчивом кодировании добавляется контролируемая избыточность.

Простейший пример – мажоритарный метод, он же многократная передача, в котором один символ передается многократно, а на приемной стороне принимается решение о том символе, количество которых больше.

Допустим есть 4 символа информации, А, B, С,D, и эту информацию повторяем несколько раз. В процессе передачи информации по каналу связи, где-то возникла ошибка. Есть три пакета (A1B1C1D1|A2B2C2D2|A3B3C3D3), которые должны нести одну и ту же информацию.

Но из картинки справа, видно, что второй символ (B1 и C1) они отличаются друг от друга, хотя должны были быть одинаковыми. То что они отличаются, говорит о том, что есть ошибка.

Необходимо найти ошибку с помощью голосования, каких символов больше, символов В или символов С? Явно символов В больше, чем символов С, соответственно принимаем решение, что передавался символ В, а символ С ошибочный.

Для исправления ошибок нужно, как минимум 3 пакета информации, для обнаружения, как минимум 2 пакета информации.

Параметры помехоустойчивого кодирования

Первый параметр, скорость кода R характеризует долю информационных («полезных») данных в сообщении и определяется выражением: R=k/n=k/m+k

Параметры n и k часто приводят вместе с наименованием кода для его однозначной идентификации. Например, код Хэмминга (7,4) значит, что на вход кодера приходит 4 символа, на выходе 7 символов, Рида-Соломона (15, 11) и т.д.

Второй параметр, кратность обнаруживаемых ошибок – количество ошибочных символов, которые код может обнаружить.

Третий параметр, кратность исправляемых ошибок – количество ошибочных символов, которые код может исправить (обозначается буквой t).

Контроль чётности

Самый простой метод помехоустойчивого кодирования это добавление одного бита четности. Есть некое информационное сообщение, состоящее из 8 бит, добавим девятый бит.

Если нечетное количество единиц, добавляем 0.

1 0 1 0 0 1 0 0 | 0

Если четное количество единиц, добавляем 1.

1 1 0 1 0 1 0 0 | 1

Если принятый бит чётности не совпадает с рассчитанным битом чётности, то считается, что произошла ошибка.

1 1 0 0 0 1 0 0 | 1

Под кратностью понимается, всевозможные ошибки, которые можно обнаружить. В этом случае, кратность исправляемых ошибок 0, так как мы не можем исправить ошибки, а кратность обнаруживаемых 1.

Есть последовательность 0 и 1, и из этой последовательности составим прямоугольную матрицу размера 4 на 4. Затем для каждой строки и столбца посчитаем бит четности.

Прямоугольный код – код с контролем четности, позволяющий исправить одну ошибку:

И если в процессе передачи информации допустим ошибку (ошибка нолик вместо единицы, желтым цветом), начинаем делать проверку. Нашли ошибку во втором столбце, третьей строке по координатам. Чтобы исправить ошибку, просто инвертируем 1 в 0, тем самым ошибка исправляется.

Этот прямоугольный код исправляет все одно-битные ошибки, но не все двух-битные и трех-битные.

Рассчитаем скорость кода для:

Здесь R=16/24=0,66 (картинка выше, двадцать пятую единичку (бит четности) не учитываем)

Более эффективный с точки зрения скорости является первый вариант, но зато мы не можем с помощью него исправлять ошибки, а с помощью прямоугольного кода можно. Сейчас на практике прямоугольный код не используется, но логика работы многих помехоустойчивых кодов основана именно на прямоугольном коде.

Классификация помехоустойчивых кодов

По используемому алфавиту:

Блочные коды делятся на

В случае систематических кодов, выходной блок в явном виде содержит в себе, то что пришло на вход, а в случае несистематического кода, глядя на выходной блок нельзя понять что было на входе.

Смотря на картинку выше, код 1 1 0 0 0 1 0 0 | 1 является систематическим, на вход поступило 8 бит, а на выходе кодера 9 бит, которые в явном виде содержат в себе 8 бит информационных и один проверочный.

Код Хэмминга

Код Хэмминга — наиболее известный из первых самоконтролирующихся и самокорректирующихся кодов. Позволяет устранить одну ошибку и находить двойную.

Читайте также: как поесть в маке без qr кода

Код Хэмминга (7,4) — 4 бита на входе кодера и 7 на выходе, следовательно 3 проверочных бита. С 1 по 4 информационные биты, с 6 по 7 проверочные (см. табл. выше). Пятый проверочный бит y5, это сумма по модулю два 1-3 информационных бит. Сумма по модулю 2 это вычисление бита чётности.

Декодирование кода Хэмминга

Декодирование происходит через вычисление синдрома по выражениям:

Синдром это сложение бит по модулю два. Если синдром не нулевой, то исправление ошибки происходит по таблице декодирования:

Расстояние Хэмминга

Расстояние Хэмминга — число позиций, в которых соответствующие символы двух кодовых слов одинаковой длины различны. Если рассматривать два кодовых слова, (пример на картинке ниже, 1 0 1 1 0 0 1 и 1 0 0 1 1 0 1) видно что они отличаются друг от друга на два символа, соответственно расстояние Хэмминга равно 2.

Кратность исправляемых ошибок и обнаруживаемых, связано минимальным расстоянием Хэмминга. Любой помехоустойчивый код добавляет избыточность с целью увеличить минимальное расстояние Хэмминга. Именно минимальное расстояние Хэмминга определяет помехоустойчивость.

Помехоустойчивые коды

Современные коды более эффективны по сравнению с рассматриваемыми примерами. В таблице ниже приведены Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема (БЧХ)

Из таблицы видим, что там один класс кода БЧХ, но разные параметры n и k.

Несмотря на то, что скорость кода близка, количество исправляемых ошибок может быть разное. Количество исправляемых ошибок зависит от той избыточности, которую добавим и от размера блока. Чем больше блок, тем больше ошибок он исправляет, даже при той же самой избыточности.

Пример: помехоустойчивые коды и двоичная фазовая манипуляция (2-ФМн). На графике зависимость отношения сигнал шум (Eb/No) от вероятности ошибки. За счет применения помехоустойчивых кодов улучшается помехоустойчивость.

Из графика видим, код Хэмминга (7,4) на сколько увеличилась помехоустойчивость? Всего на пол Дб это мало, если применить код БЧХ (127, 64) выиграем порядка 4 дБ, это хороший показатель.

Компромиссы при использовании помехоустойчивых кодов

Чем расплачиваемся за помехоустойчивые коды? Добавили избыточность, соответственно эту избыточность тоже нужно передавать. Нужно: увеличивать пропускную способность канала связи, либо увеличивать длительность передачи.

Необходимость чередования (перемежения)

Все помехоустойчивые коды могут исправлять только ограниченное количество ошибок t. Однако в реальных системах связи часто возникают ситуации сгруппированных ошибок, когда в течение непродолжительного времени количество ошибок превышает t.

Например, в канале связи шумов мало, все передается хорошо, ошибки возникают редко, но вдруг возникла импульсная помеха или замирания, которые повредили на некоторое время процесс передачи, и потерялся большой кусок информации. В среднем на блок приходится одна, две ошибки, а в нашем примере потерялся целый блок, включая информационные и проверочные биты. Сможет ли помехоустойчивый код исправить такую ошибку? Эта проблема решаема за счет перемежения.

Пример блочного перемежения:

На картинке, всего 5 блоков (с 1 по 25). Код работает исправляя ошибки в рамках одного блока (если в одном блоке 1 ошибка, код его исправит, а если две то нет). В канал связи отдается информация не последовательно, а в перемешку. На выходе кодера сформировались 5 блоков и эти 5 блоков будем отдавать не по очереди а в перемешку. Записали всё по строкам, но считывать будем, чтобы отправлять в канал связи, по столбцам. Информация в блоках перемешалась. В канале связи возникла ошибка и мы потеряли большой кусок. В процессе приема, мы опять составляем таблицу, записываем по столбцам, но считываем по строкам. За счет того, что мы перемешали большое количество блоков между собой, групповая ошибка равномерно распределится по блокам.

Источник

Код Боуза — Чоудхури — Хоквингема

Код Боуза — Чоудхури — Хоквингема

Коды Боуза — Чоудхури — Хоквингхема (БЧХ-коды) — в теории кодирования это широкий класс циклических кодов, применяемых для защиты информации от ошибок (см. Обнаружение и исправление ошибок). Отличается возможностью построения кода с заранее определёнными корректирующими свойствами, а именно, минимальным кодовым расстоянием. Коды Рида — Соломона являются частным случаем БЧХ-кодов.

Содержание

Формальное описание

БЧХ-код является циклическим кодом, который можно задать порождающим полиномом. Для его нахождения в случае БЧХ-кода необходимо заранее определить длину кода n (она не может быть произвольной) и требуемое минимальное расстояние . Найти порождающий полином можно следующим образом.

Читайте также: как использовать чит коды в 7 days to die
Построение

Для нахождения порождающего полинома необходимо выполнить несколько этапов:

Примеры кодов

Примитивный 2-ичный (15,7,5) код

16-ричный (15,11,5) код (код Рида — Соломона)

g(x) = (x − α)(x − α 2 )(x − α 3 )(x − α 4 ) = x 4 + α 13 x 3 + α 6 x 2 + α 3 x + α 10

Каждому элементу поля GF(16) можно сопоставить 4 битам, поэтому одно кодовое слово эквивалентно 60=15*4 битам, таким образом набору из 44 бит ставится в соответствие набор из 60 бит. Можно сказать, что такой код работает с полубайтами информации.

Кодирование

Для кодирования кодами БЧХ применяются те же методы, что и для кодирования циклическими кодами.

Методы декодирования

Коды БЧХ являются циклическими кодами, поэтому к ним применимы все методы, используемые для декодирования циклических кодов. Однако существуют гораздо лучшие алгоритмы, разработанные именно для БЧХ-кодов.

Алгоритм Питерсона — Горенстейна — Цирлера (ПГЦ)

.

Составим полином локаторов ошибок:

Корнями этого полинома являются элементы, обратные локаторам ошибок. Помножим обе части этого полинома на . Полученное равенство будет справедливо для :

.

Учитывая (2) и то, что (то есть меняется в тех же пределах, что и ранее) получаем систему линейных уравнений:

Или в матричной форме

См. также

Литература

Смотреть что такое «Код Боуза — Чоудхури — Хоквингема» в других словарях:

Код Боуза-Чоудхури-Хоквингема — Коды Боуза Чоудхури Хоквингхема (БЧХ коды) в теории кодирования это широкий класс циклических кодов, применяемых для защиты информации от ошибок (см. Обнаружение и исправление ошибок). Отличается возможностью построения кода с заранее… … Википедия

Код Рида — Соломона — Коды Рида Соломона недвоичные циклические коды, позволяющие исправлять ошибки в блоках данных. Элементами кодового вектора являются не биты, а группы битов (блоки). Очень распространены коды Рида Соломона, работающие с байтами (октетами). Код… … Википедия

Код коррекции ошибок Рида-Соломона — Коды Рида Соломона недвоичные циклические коды, позволяющие исправлять ошибки в блоках данных. Элементами кодового вектора являются не биты, а группы битов (блоки). Очень распространены коды Рида Соломона, работающие с байтами (октетами). Код… … Википедия

Код Рида-Соломона — Коды Рида Соломона недвоичные циклические коды, позволяющие исправлять ошибки в блоках данных. Элементами кодового вектора являются не биты, а группы битов (блоки). Очень распространены коды Рида Соломона, работающие с байтами (октетами). Код… … Википедия

Код Рида — Коды Рида Соломона (англ. Reed–Solomon codes) недвоичные циклические коды, позволяющие исправлять ошибки в блоках данных. Элементами кодового вектора являются не биты, а группы битов (блоки). Очень распространены коды Рида Соломона,… … Википедия

КОД С ИСПРАВЛЕНИЕМ ОШИБОК — код, корректирующий ошибки, множество сообщений, предназначенных для передачи по каналу связи с шумами, обладающее тем свойством, что окрестность ошибок каждого сообщения (т. е. совокупность искаженных вариантов этого сообщения) не пересекается с … Математическая энциклопедия

Контрольный код — Обнаружение ошибок в технике связи действие, направленное на контроль целостности данных при записи/воспроизведении информации или при её передаче по линиям связи. Исправление ошибок (коррекция ошибок) процедура восстановления информации после… … Википедия

РС код — Коды Рида Соломона недвоичные циклические коды, позволяющие исправлять ошибки в блоках данных. Элементами кодового вектора являются не биты, а группы битов (блоки). Очень распространены коды Рида Соломона, работающие с байтами (октетами). Код… … Википедия

Турбо-код — Турбо код параллельный каскадный блоковый систематический код, способный исправлять ошибки, возникающие при передаче цифровой информации по каналу связи с шумами. Синонимом турбо кода является известный в теории кодирования термин … … Википедия

Линейный код — В области математики и теории информации линейный код это важный тип блокового кода, использующийся в схемах определения и коррекции ошибок. Линейные коды, по сравнению с другими кодами, позволяют реализовывать более эффективные алгоритмы… … Википедия

Источник